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迷上了‘混沌’世界

深圳文学2018-02-12 16:06:51


混沌并不是杂乱无章,

它是有它自己的规律的。


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我第一次听到“混沌”这个名词,是1981年在武汉一次《非平衡统计物理》讨论会上,听郝柏林先生的讲解。他的讲解,引起我极大兴趣,回校后在给学生开《非平衡统计物理》选修课时加上了‘混沌’一章。后来在美国读物理博士学位的我的小女儿,寄给我们厚厚地一摞James GleickCHAOS》的翻译稿,这是一本很有趣味的通俗科学书。我的老伴,胡济民院士为翻译稿写了序言,与科普出版社联系,准备出版。正在编辑经过努力准备出版时,同一本书的译稿已经在另一出版社捷足先登出版了,只好作罢。但要写一本通俗的、有关‘混沌’的书,一直萦回在我老伴的脑海,一直到他染病离开了人世。为了完成老伴的遗愿,也为了不辜负我小女儿的辛苦劳动。我准备在有生之年,完成这任务。


混沌被认为二十世纪物理学的第三次革命,另外两次是相对论与量子力学。从牛顿力学,发展到相对论、量子力学,不管是学物理的人,还是其他人,都比较有明确的概念。但从二十世纪年代才提上日程的‘混沌’,却远非如此。也有不少这方面的书籍或文章,但有的专业性很强,起点很高,不是学理论物理的读者就会给繁琐的数学与理论物理基础堵在门外。有的是通俗科学书,但往往偏重趣味性与故事性,使读者知其然而不知其所以然。一本既通俗,又有一定科学理论的书,使有一定数学水平的读者能了解‘混沌’到底是怎么一回事,是迫切需要的。


20103月,我的小书《混沌与分形——浅说》,终于由北京大学出版社出版。这是一本浅说,也就是只要有高中水平的读者就能看懂。书还颇受欢迎,20121月还第二次印刷,重印了一次。



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什么是混沌?什么是分形?说白了,其实就是一个非线性的问题


在科学上,科学家们要把所碰到的科学问题用数学表达出来,这数学表达式常常是线性的,也就是说把变量与应变量画在图上是直线关系,把非线性部分忽略了,这样就抓住了主要规律。例如,在中学物理以及大学普通物理里讲单摆,一上来就忽略了单摆运动的非线性部分,这样单摆的运动规律就非常简单。要是不忽略非线性部分,那就复杂极了。



很多事物是可以忽略非线性部分的,但有些是无法忽略非线性的,如气象问题。要用方程式来描述一个气团的运动,就无法忽略非线性部分。当然,这样一个非线性的气团运动方程式,要是没有现代计算机,气象学家们是无法解出的。有了计算机,可以把气团的运动方程式让计算机用数字方法来求解。


在用计算机解气团的方程式时出现了著名的“蝴蝶效应”。


什么是蝴蝶效应呢?一般解线性方程式时,最后的结果由初始条件决定,一定的初始条件就应该有一定的结果,初始条件微小的差别。最后结果也应该是差别很小的。但是,非线性的方程式却出现了意外的混乱,初始条件小小的一点差别,却引起了巨大差距的结果。当时的气象学家用很形象的话说:“蝴蝶在西双版纳扇了一下翅膀,可以让纽约发生一场风暴。”这种无法预测的现象就被称为“混沌”,实际也就是混乱的意思。


科学家们是不甘心这种混乱的,要找出“混沌”的规律来。为了找出非线性系统的规律,用了一个最简单的模型,称为“非线性麻雀”。意思是:麻雀虽小,五脏俱全,解剖一个小麻雀,可以获得混沌的知识。


这个非线性麻雀就是“虫口模型”,是一个生物群体的生态问题。例如研究一群草原上的兔子问题吧,在什么条件下,兔子会一年比一年多?什么条件下兔子会一年比一年少?初看起来,父母多当然子女多,第一年兔子多,第二年的兔子也应该多;但又与草原的环境、气候、提供的食物等有关。若兔子太多了,供兔子生活的草料不够了,兔子没有吃的东西,就要饿死,兔子数会逐年减少。考虑了影响兔子数的各种因素,把兔子数目的变化写成一个方程式,就是一个非线性的方程式。


用计算机很容易计算出历年的兔子数的变化来。那些影响兔子的因素(食物、气候等等)是用一个参量来表示的,科学家们感兴趣的是这个参量如何影响兔子数的变化,不同的参数得出不同的规律,有些参数能致使兔子的数目不变,或在两个数之间变化,或在四个、八个数之间变化,等等。


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混沌并不是杂乱无章,它是有它自己的规律的。


科学家又把“虫口模型”的方程式做了一些数学上的变换。把变量改换成“复变数”。也就是换成“一个实数加一个虚数”。这样可以在复平面(以实数为横坐标,以虚数为纵坐标的平面)上画出其变化的图形。图1就是虫口模型在复平面上按一定的规律画出的图。


1中有两个长方形,在计算机上将这两个长方形区域放大,就是图23


图1

图2

图3


右上角的图就是箭头的下图的放大,图右边的图就是左边的边缘部分的放大。假如在画图时,自己规定了某种涂色的规律,则可以得出彩色的图。用不同的非线性方程式,可以得出各种不同的漂亮图形。这种图形只能让计算机按指定的规律画出,人手是画不出来的。这种图案称为Mandelbrot集。下图为Mandelbrot



这种美丽的图形称为分形。芒德布罗(Mandelbrot)为分形几何的创始人。


混沌与分形是密切联系着的。分形只是出现混沌的非线性方程式在复数平面上的表现而已。


 为什么把这些美丽的图形称为分形?我们知道,在几何学里,一个正方形的面积是边长的平方,一个立方体的体积是边长的立方。平方就是次方,立方就是次方。方次、也就是指数都是整数。假如这个“指数”不是整数,而是分数(或有小数点的数),则这个几何图形就是分形。


简单的分形可以用纸笔就能画出。


4所示,将一三角形,分成四个小三角形,将中间一个三角形挖去,成为三个连在一起的小三角形,继续不断地这样做,就会得出一个图案,这是指数为1.58496


图4


5所示,一段直线,分成四等分,将中间的两条鼓上来成为60度的尖角,接着在每一条短的直线上继续这样做,就会得出一条漂亮的花线,这条花线称为考赫(Koch)曲线,它的指数为:1.2618


 

图5


6所示,是在一个正方形边上,分别栽上四个角,继续栽下去,就成为一个美丽的考赫岛。这个考赫岛的指数为:1.5


图6



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在大自然中,处处都是分形。山不是立方体,云不是球,树不是三角形,海岸线、河流不是直线与园。


在各种自然与人文科学中,人们也到处碰到分形。地下的石油构造是分形,地震的发生规律是分形,污染大气的微粒是分形,飞行器在大气中磨损的表面是分形,经济收入分布曲线是分形。


1994Peter出版了《分形市场分析:混沌理论在投资与经济学上的应用》(Fractal market analysisApplying Chaos Theory to Investment and Economics )一书中提出不能用概率论的方法来看待市场的运动规律,而应该用分形的理论,用分形的理论来解释股票市场的恐慌和崩溃现象。


任何从实践中得出的一条不规则的曲线,可以用分形的方法求出这条曲线的维数(也就是指数)来。


有一位很想在炒股中发财的朋友,知道我对分形略知一二,建议我去炒股发财。我大笑,告诉他我是一个教师,只会懂一点皮毛后在学生面前吹吹牛,对哪一种实际分形都没有深入研究。炒股发财,劝他千万别干,每个想走这条路发财的人最后一定是倒大霉的。



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